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By Christian Tapp

​David Hilbert entwickelte mit seiner Beweistheorie ein Programm zur Grundlegung der Mathematik. Setzt er dazu eine formalistische Philosophie der Mathematik voraus? Die überraschende Antwort des ersten Teils dieses Buches ist ein differenziertes Nein. Hilberts place schließt logizistische und intuitionistische Momente ein – und sicher keinen Spielformalismus. Der zweite Teil des Buches macht die Fülle der Ideen sichtbar, die Hilbert und seine Schüler im Rahmen der formallogischen Durchführung und Weiterentwicklung des Programms entwickelt haben, um die Widerspruchsfreiheit mathematischer Axiomensysteme mit mathematischen Mitteln zu zeigen. Der dritte Teil widmet sich recht anspruchsvollen philosophischen „Überhangfragen“: Ist das Programm nicht letztlich zirkulär? Ist es nicht mit den Gödelsätzen zum Scheitern verurteilt? Und wie können in einem finitistischen Rahmen transfinite Ordinalzahlen auftreten? Hilbert hat der Philosophie ein spannendes und herausforderndes Aufgabenfeld hinterlassen.​

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Goldfarb, Logic in the Twenties [1979]; Hilbert/Ackermann, Theoretische Logik [1928]. 49 Das ist auch gegen Peckhaus’ Einschätzung zu sagen, daß Hilbert erst 1928 mit der Ausarbeitung des Hilbert-Ackermann „die logische Grundlage seines metamathematischen Programms gelegt“ habe; vgl. Peckhaus, Logik, Mathesis [1997], 3. 28 1 Einleitung Ackermanns Beitrag zu diesem Lehrbuch scheint auf das beschränkt gewesen zu sein, was Hilbert im Vorwort erwähnt: die „Gliederung und definitive Darstellung des Gesamtstoffes“.

Nichteuklidischen Geometrien wurden nicht nur Alternativen zum Parallelenaxiom angegeben, sondern schließlich auch Modelle für die Alternativtheorien entwickelt, die zeigen, daß die Alternativen (mindestens) genausogut mit dem Rest der euklidischen Axiome verträglich sind wie das Parallelenaxiom selbst. Das ursprüngliche Problem des Parallelenaxioms war gelöst, die Konsistenz der alternativen Axiomensysteme war durch die arithmetischen Modelle gesichert. Von da aus konnte man zunächst gar nicht mehr wollen als das, was Hilbert als neue Art, Geometrie zu betreiben, in seinem epochemachenden Buch Grundlagen der Geometrie 1899 vorlegte.

C. 1007/978-3-642-29654-3_2, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013 33 34 2 Das Hilbertprogramm und seine Ziele unsere üblichen Methoden der Mathematik samt und sonders als widerspruchsfrei zu erkennen. Hilbert/Bernays, Grundlagen I [1934], V Das Erkennen der Widerspruchsfreiheit sollte die Grundlagen der Mathematik absichern. Das Typische an Hilberts Vorgehen ist nun, daß diese Sicherung selbst mit mathematischen Methoden erfolgen soll. Durch Methoden, die selbst die Unbezweifelbarkeit mathematischer Resultate besitzen, sollte die Unbezweifelbarkeit mathematischer Resultate wiederhergestellt werden.

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