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By Katsuhiko Ogata; Bartolomé Alejandro Fabián-Frankel; José Guillermo Aranda Pérez

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Por tanto, debe especificarse con claridad si el límite inferior de la integral de Laplace es 0- o 0+, dado que las transformadas de Laplace 26 Capítulo 2 / La transformada ae Laplace ’ de f(t) difieren para estos dos límites inferiores. +[flt)] = Jw f(t)e-sf dt 0+ Z[f(t)] = $ f(t)e+ dt = Ce+[f(t)l +, l,o f(t)e-“‘dt Si f(t)implica una función impulso en t = 0, entonces dado que, u_’ f(t)e+ dt # 0 f para tal caso. Obviamente, si f(t) no posee una función impulso en t = 0 (esto es, si la función que se va a transformar es finita entre t = 0- y t = O+), entonces ~+[ml = z-m1 2-4 TEOREMAS DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Esta sección presenta varios teoremas de la transformada de Laplace genierfa de control.

Sección 2-3 / Transformada de Laplace 21 Tabla 2-1 Pares de transformadas de Laplace fo) F(s) S(t) 1 Impulso unitario 2 Escalón unitario l(t) 3 t 5 t” S 1 S” (n = 1,2,3, . ) e-ar 7 te-“’ 8 ~ P-levar (n ! l)! 9 t”e@ n! s”+1 1 6 s+a (s J a)’ (n = 1, &3, . ) (n = 1,2,3,. ) (n - l)! (s + a) 0 (s + u)2 + oJ2 s+u (s + u)2 + cO2 4 s2 + 25w,s + ían s s2 + 2509 + co; 14 24 s(s2 + 25w#s + co;) 25 1 - coscot 26 ót - sen wt 2 7 28 2w3 (2 + W2)2 1 2w t sen”t (s2 + co2)2 cos s2 - cl? )2 23 Esta última ecuación plantea que el desplazamiento en el tiempo de la función de tiempo f(t)l(t) mediante a (en donde a 2 0) corresponde a la multiplicación de la transformada F(s) por e-ar.

Es decir, este método no se aplica hasta que se ha factorizado el polinomio del denominador. Expansión en fracciones parciales cuando F(s) sólo involucra polos distintos. Considere F(s) escrita en la forma factorizada B(s) K(s + Zl)(S + zz) . * (s + z,) F(s) = - = A(s) (s + PI>@ + PZ) . . (s + 14 ’ para m < n en donde pl,pz, . , ,pn y ZI, 22, . . , z,,, son cantidades reales o complejas, pero para cada pi o zi complejo se te,ndrá el complejo conjugado de pi o zi, respectivamente. +a, s +t2 s + Pn (2-14) en donde ak (k = 1,2,.

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